Питагора

ЖИВОТОПИС

Питагора из Самоса често се приказује као први "прави" математичар. Он је врло важна особа која је допринела развоју математике, иако у бити знамо мало о његовом математичком раду. За разлику од многих каснијих грчких математичара, код којих имамо очувану бар неку књигу коју су написали, немамо сачувано нажалост ништа од Питагориних дела. Скупина учењака коју је водио, напола религијска а напола научна, следила је начело тајанствености, због чега нам је данас Питагора тако тајанствена особа.Ипак, неке детаље из Питагориног живота знамо захваљујући његовим раним биографијама које се ослањају на важне оригиналне изворе и које сведоче о Питагори као божанској особи. Неки историчари ове податке сматрају само занимљивим легендама, али оно што је сигутно је чињеница да су ове биографије заиста врло старе.Питагора је рођен на грчком острву Самосу (данас тај оток припада Турској), као син богатог и заслужног трговца с којим је много путовао. На тим се путовањима млади Питагора сусрео са многим учитељима и мислиоцима из оног времена који су га поучавали филозофији и науци. Један од тих учитеља био је и гласовити Талес из Милета. Каже се да је Питагора посетио Талеса у Милету када му је било између 18 и 20 година. У то је време Талес био стар човек и његова открића су утицала да се Питагора још више заинтересује за математику и астрономију, те је саветовао Питагору да отпутује у Египат где ће још више научити о подручјима која га занимају.Отприлике 535. год. п.н.е. Питагора је отпутовао у Египат. Тамо је учествовао у многим филозофским расправама са свештеницима и учењацима. Након ритуалне свечаности, и сам Питагора је постао храмски свештеник у Диосполису. Идеје које ће касније проповедати на својој школи у Италији засигурно имају корене у египатским храмовима: на пример, тајновитост египатског свештенства, њихово одбијање једења пасуља, одбијање облачења одеће која се добија од коже животиња, њихов завет чистоће итд .. Све је то утицало касније на ритуале, строгост и тајновитост питагорејске школе.Након 10 година боравка у Египту, Персија је напала и окупирала Египат. Као и многи његови савременици, Питагора је одведен као роб и ратни заробљеник у Вавилон. Тамо је много научио о њиховој религији, науци и култури. Након 5 година ропства, 520. год. п.н.е. враћа се на Самос. У биографијама нигде не стоји како се то Питагора ослободио ропства у Вавилону. На Самосу оснива школу, под називом "полукруг", која је и вековима касније мештанима острва служила као окупљалиште мислиоца. Међутим, због метода, строгости и начина мишљења које су биле врло сличне онима које је научио у Египту, становници са Самоса, научени на другачији начин мишљења, нису били задовољни Питагориним поучавањем.Зато је отпловио у јужну Италију, у град Кротону  где је стекао многе следбенике. Установио је математичку школу у којој су ученици одржавали строга правила дружбе. Школу данас називамо Питагорејском школом, а његове следбенике Питагорерјцима.

ПИТАГОРЕЈСКА ШКОЛА

Друштво се састојало од два круга: унутрашњи круг чинили су учитељи и математичари, а спољни ученици. Чланови унутрашњег круга, међу којима је био и сам Питагора, нису имали приватног власништва, морали су бити вегетеријанци и живети у заједници. Чланови спољног круга нису морали бити вегетеријанци, могли су имати приватно власништво и становали су у властитим кућама. И мушкарци и жене су могли посати чланови Друштва, чак су неколико следбеница Питагорејки касније постале познати филозофи.

У Питагорејској школи нагласак је био на тајности и заједништву, тако да је данас тешко одгонетнути шта је рад самог Питагоре, а што његових ученика. Оно што је сигурно, је да је његова школа дала велик допринос математици. Но, Питагорејци нису радили математику у атмосфери какву ми данас имамо у школама и на факултетима. Није било задатака које би требало решити, није било отворених проблема с којима би се требало ухватити у коштац, нити су они покушавали формулисати математичке изјаве како то данашњи математичари раде.Питагорејце су занимале основе математике, појам броја, троугла и осталих математичких ликова, те апстрактна идеја доказа. Другим речима, питагорејце је занимало све оно што се данас нама чини толико познато да се о томе нема шта размишљати. Питагора је веровао да се све релације и односи могу свести на операције са бројевима, да се све око нас и цео свемир може објаснити бројевима. До тога су закључка дошли након многих опажања у музици, математици и астрономији.Познато је Питагорино опажање да жице инструмената производе тонове у хармонији када су коефицијенти дужина тих жица цели бројеви. Питагора је јако допринео стварању математичке теорије музике. Био је врстан музичар, свирао је лиру и користио је музику као средство лечења болесника (музикотерапија).Питагора је проучавао својства природних бројева која су и дан данас позната, као на пример парни и непарни бројеви, савршени бројеви итд. По њему, сваки број има чак и своје особине: мушки и женски, савршен или непотпун, леп или ружан. Постојао је и најбољи од свих бројева: број 10, којег су препознали као збир прва четири природна броја (1 + 2 + 3 + 4 = 10).Наравно, ми данас памтимо Питагору по познатом Питагорином доказу. Иако је тај доказ назван по Питагори, он је био познат још и старим Вавилонцима 1000 година пре него што се Питагора родио. Наиме, Питагора није први открио Питагорину теорему (како то многи брзоплето говоре), већ је Питагора био први који је доказао ту теорему и зато се она назива Питагорина теорема. По некима, када је Питагора доказао ту теорему, боговима у част је жртвовао вола што су га просветлили.

Познате тврдње које су доказали Питагора и Питагорејци:

Збир углова у троуглу једнак је као два права угла.Квадрат на хипотенузи једнак је збиру квадрата на остале две странице у правоуглом троуглу (Питагорина теорема).Приметимо овде да питагорејцима "квадрат" није означавао множење дужине странице са самом собом, већ је означавао једноставно геометријски лик квадрат конструисан на страници. Чињеница да је збир два квадрата једнак трећему, значила је да се два квадрата могу изрезати на ликове од којих се може сложити један квадрат који је подударан квадрату над хипотенузом.Откриће ирационалних бројева. Питагорејци су чврсто веровали да се све може приказати у облику броја, при чему је сваки број коефицијент два цела броја. Међутим, када су покушали измерити хипотенузу једнакокраког правоуглог троугла, дошли су до закључка да се она не може приказати као коефицијент два цела броја и то их је ужаснуло. Заправо, чињеница да постоје бројеви који се не могу приказати као однос два природна броја толико их је осупнула да су ту тврдњу чували у дубокој тајности како не би изашла на видело.

Пет правилних геометријских тела (Платонова тела). Сматра се да је сам Питагора знао како конструисати прва три правилна тела, али не и последња два.У астрономији је Питагора поучавао да је Земља кугла у средишту Свемира. Он је такође препознао да се Месечева путања налази под углом у односу на Екватор. Он је такође био један од првих који је приметио да је Венера као вечерња звезда била исти планет као Венера као јутарња звезда.

Питагора је такође био и велики филозоф. У складу са његовим веровањима о бројевима, геометрији и астрономији, имао је филозофске назоре да је цели свет састављен од супротности, тј супротних парова; затим да су све постојеће ствари састављене од облика, а не од материјалне ствари, а да је душа број који се самостално покреће и реинкарнира док не дође до потпуног очишћења (до којег се долази кроз интелектуалне и обредне вежбе строгих Питагорејаца).

Што се моралног живота Питагорејаца тиче, и ту су имали своја правила. Питагора је, наиме, неговао и промицао пријатељство, несебичност и искреност.

Не зна се тачан датум и околности Питагорине смрти. Легенда каже да је питагорејску школу напао зао и окрутан гроф из Кротона који је желео ући међу питагорејце, али му је захтев одбијен због његове зле нарави те да су Питагорејци морали потражити уточиште у бекству. Питагора је такође побегао из Кротона у Метапонтиум и многи аутори се слажу

да је вероватно тамо и умро. Неки чак сумњају у самоубиство из очаја јер је нападнуто његово Братство.

И након Питагорине смрти питагорејска школа је још дуго била на окупу. Након 500. год.п.н.е.. школа се све мање бавила науком, а све више политиком и зато се ускоро расцепкала на групице. Године 460. п.н.е.школа је напрасно затворена, а за питагорејцима је остао до данас богат плод њиховог изучавања астрономије, аритметике и геометрије.

Основе Питагорине теореме

Још стари Египћани су уочили да постоји правоугли троугао чије су странице 3, 4 и 5 јединичних дужи. За приказивање - обележавање правог угла и правоуглог троугла користили су уже које је чворовима подељено на дванаест једнаких делова. Странице правоуглог троугла су: катете од 3 и 4 подељака, хипотенуза од 5 подељака (сл.1).

Конструиши правоугли троугао чије су катете 3 см и 4 см, па мерењем провери да ли је дужина хипотенузе 5 см.

Ако над сваком страницом правоуглог троугла конструишемо квадрат (сл. 2), онда ће површине тих квадрата, изражене јединицом мере, бити:

Примећујемо да је:

3² + 4² = 5²

тј. збир квадрата конструисаних над катетама једнак је квадрату конструисаном над хипотенузом. Или, збир квадрата катета једнак је квадрату хипотенузе.Наведени однос страница важи за сваки правоугли троугао и познат је под именом Питагорина теорема.

• Питагорина теорема. - Квадрат над хипотенузом правоуглог троугла једнак је збиру квадрата над катетама тог троугла.

Заиста, ако јеABC троугао са правим углом код темена B, без смањења општости разматрања можемо претпоставити да је AB < BC. Ако су, затим, ACKL, BCMN и ABPQ квадрати који се, редом, налазе са оних страна правих AC, BC и АB са којих су, редом, тачке B, К и C, тада, ако са L' обележимо подножје управне из тачке N на правој АN, а са U и V тачке у којима се секу парови правих KL и BN, PQ и CА, биће троуглови AL'L и CMK, LL'U и AQV, VPC и UNK, међусобно транслаторно подударни. Одатле, по дефиницији, следи да је квадратна површ ACKL, Т-разложиво једнака унији квадратних површи ABPQ и BCMN.

Доказ Питагорине теореме помоћу разложиве једнакости

Претходни доказ Питагорине теореме суштински се не разликује од доказа који десетовековни арапски математичар ан Наиризи приписује свом старијем савременику Сабит ибн Кори. О овом доказу који има историјски значај, биће касније још речи.

На пример:

1) Израчунај дужину хипотенузе правоуглог троугла чије су катете

а = 7 cm, b = 24 cm.

Заменом вредности за а и b у једнакости c² = a² + b²  биће:

c² = 7² + 24²

c² = 625

c = √625.

Дакле, хипотенуза је c = 25 cm.                                                      

2) Израчунај дужину треће странице правоуглог троугла чија је хипотенуза c = 17 cm, а катета а = 14 cm.

Заменом вредности за c и а у једнакости a² + b² = c², биће:

14² + b² = 17²

b² = 289 - 196

Дакле, друга катета је b = √93 cm.

тј. b ≈ 9,64 cm (приближна вредност).

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА - ПРИМЕНА

Праволугли троугао: Две странице троугла заклапају прав угао и називају се катете. Страница наспрам правог угла је хипотенуза и она је највећа страница овог троугла.

c² = a² + b²

c– хипотенуза                                                               

a,b  –катете

 Једнакокраки троугао: Једнакокраки троугао има једнаке краке. Висина  на основицу пада  под правим углом на њену половину. Крак троугла, половина основице и висина на  основицу образују правоугли троугао.

 b² = (a /2)² + h_a²

ha- висина повучена на основицу једнакокраког троугла

a- основица једнакокраког троугла

b - крак једнакокраког троугла

       

 Једнакстранични троугао: Једнакостранични троугао има све једнаке странице (краци су једнаки основици) и једнаке углове од 60⁰. Висина на основицу пада под правим углом на њену половину. Крак троугла, половина основице и  висина на основицу образују правоугли троугао.

 a² = (a /2)² + h_a²

ha - висина повучена на основицу једнакостраничног троугла

a- основица, односно крак једнакостранчног троугла                                                                               

  Квадрат: Квадрат има све једнаке странице и једнаке углове од 90⁰. Дијагонале квадратa су једнаке и секу се под правим углом. Странице квадрата и његова дијагонала образују правоугли троугао.

  d² = a² + a²

d-дијагонала квадрата

a- основица квадрата

                                                                                            

 Правоугаоник: Правоугаоник има по две једнаке странице и све једнаке углове од 90⁰ Основице правоугаоника заклапају прав угао и са дијагоналом образују правоугли троугао.

 d² = a² + b²

d - дијагонала правоугаоника

a- дужа основица правоугаоника

b - краћа основица правоугаоника

                                                                                                  

  Ромб: Ромб има све једнаке странице и по два једнака угла. Дијагонале ромба секу се под правим углом. Половине дијагонала ромба и страница ромба образују правоугли троугао.

 a ² = (d₁/2)² + (d₂ /2)

а- основица ромба

d1- дужа дијагонала ромба

 d2- краћа дијагонала ромба

                                                                                             

Трапез: Основице трапеза су паралелне. Висина трапеза повучена из крајева мање основице заклапају са већом основицом прав угао и одсецају на њој одсечке x. Висина, одсечак x и крак трапеза образују правоугли троугао.

 c² = x² +  h²

c - крак трапеза

x - одсечак на већој основици трапеза

h- висина трапеза

а, b - основице трапеза

Код  једнакокраког трапеза одсечак x је једнак половини разлике веће и мање основице трапеза:

  x = (a - b)/2

                                                                                             

Код правоуглог трапеза одсечак x je једнак разлици веће и мање основице трапеза:

  x = a - b

Израчунавање углова у троуглу

Између осталог, питагорејцима се приписује (Еудем) проналазак још једне добро познате често примењиване теореме:

У сваком троуглу збир унутрашњих углова једнак је збиру два права угла.

Ево како Еудем каже да су је они доказивали:

,,Нека је дат троугао АВГ, и нека је кроз тачку А уцртана страници ВГ паралелна дуж DE. Будући дакле да су (дужине) BG и DE паралелне и наизменично постављени углови су једнаки: једнак је дакле угао DAB углу АВГ, а угао ЕАГ углу АГВ; угао ВАГ мора бити заједнички. Збир углова DAB, BAG i GAE, то јест збир углова DAB и BAE, то јест збир два права угла, једнак је збиру углова у троуглу АВГ.

Дакле: збир три угла у троуглу једнак је збиру два права угла.”

Несамерљиве дужи

“У V веку смо пре наше ере, негде у Великој Грчкој, вероватно на јужним обалама Италије, у околини Кротона. Драма у три чина.

Први чин. Све је број!

Други чин. Ако неки број представља страницу квадрата, ниједан број не би могао да представља дијагоналу. Дијагонала и страница су несамерљиве!

Трећи чин. Постоје, дакле, величине које ниједан број није кадар да изрази!''

Ово откриће никада се не би догодило да се увек полазило само од непосредног практичног премеравања. Таква мерења увек се врше са одређеном тачношћу и зато су у границама ове тачности све дужи самерљиве.

До тог времена сва метричка геометрија и теорија сличности почивале су на аритметици рационалних бројева. Цели бројеви и разломци, мислило се, потпуно су довољни да се измери произвољна величина. И одједном- није тако: ма како малу дуж одабрали, она се неће садржати цео број пута и у страници и у дијагонали квадрата.

Ова тврдња, изнесена од самих питагорејаца, доводи у опасност њихову сопствену визију света. Морала је обавезно да остане тајна. Почињемо испочетка.

Први чин. Све је број. Какви су они били, ти бројеви задужени да казују свет и хармонију, ти бројеви задужени да казују космос? Цели бројеви. И разломци, такође, који су само односи целих. Једино позитивни. Из ваљаних ралога нису постојали негативни бројеви у древним цивилизацијама...Грци су користили односе ма која два цела. У Египту, рецимо, постојале су само половине и неколико других посебних разломака. Нису имали, на пример, 22/7. Главна функција тих бројева, касније названих рационалним, била је да бројчано изражавају геометријске величине, наиме, да их мере.

-Други чин. Долази дијагонала квадрата са страницом 1.

-Страница и дијагонала, два значајна сегмента квадрата!                                                    

Какав је однос међу њима? Узмимо најпростији квадрат, онај са страницом 1. Која је дужина његове дијагонале? Пресечен на пола даје два једнакокрака правоугла троугла. Заједничка хипотенуза троуглова јесте дијагонала квадрата. Шта тврди Питагорина теорема?

То није било питање него стилска фигура, па ипак сви одговорише у хору:

-Квадрат над хипотенузом једнак је збиру квадрата над катетама.

-Ако се сетимо да је 1 на квадрат једнако 1 из формуле произилази: квадрат над хипотенузом тј. квадрат дијагонале једнак је 2.

“Ево капиталне информације: дужина дијагонале је број чији је квадрат 2!’’

“Који је то број? Мало је рећи да су Грци за њим трагали. Ниједан број није одговарао! Ниједан цели број, ниједан разломак! Онда је искрсло питање: постоји ли тај број? А ако не постоји, како се у то уверити?

Да бисмо се уверили да нека ствар постоји, доволно је да је покажемо. Али, кад не постоји.... Тешко је показати непостојање! Једини начин да тврдимо да нека ствар не постоји јесте да докажемо да она НЕ МОЖЕ ПОСТОЈАТИ. Наиме, да треба прећи од немоћи да нађемо ствар која је у питању на увереност да та ствар не постоји. Тај прелаз има велику цену, изискује извођење доказа. Доказивање немогућности!

То су учинили питагоровци. Доказали су да један рационалан број чији је квадрат 2 не може постојати. Ако неки број представља страницу квадрата, ниједан број не може предсављати његову дијагоналу. Дијагонала и страница су НЕСАМЕРЉИВЕ!

Како би то друкчије могли да учине него путем доказивања! ДА ЛИ СЕ ВИДИ да су дијагонала и страница несамерљиве? Не! Не открива се никакав знак. Ништа се од те немогућности не назире. Несамерљивост није видљива! Слика је нема, једино је рад мишљења може открити...Требало им је врема да схвате да све почива на чињеници да је Питагора располутио свет бројева на: парни и непарни. Учинивши тако, могао је да покрене своју доказну машину, наоружан једном једином идејом: показати број који би истовремено био паран и непаран.И, показавши га, на основу тога закључити да су хипотенузе које дозвољавају такву могућност погрешне.”

Доказ се ослања на Питагорину теорему и на један став из теорије бројева.

Нека су страница и дијагонала квадрата самерљиве дужи.Односно, постоји дуж која се садржи цео број пута и у страници и у дијагонали квадрата ABCD:

                

         , где је  несводљив разломак.

Тада је  .

Међутим, по Питагориној теореми је

   тј.   .

Дакле,  је паран број – следи, по теореми која је била позната у старо доба да је и парно, .

Тада је  i , тј. и  би морало бити парно, a тиме противречимо нашој претпоставци  несводљив разломак.

“Трећи чин. Како реагује грчко друштво на ова открића? Овај прости квадрат нацртан на овом листу прикрива бездан у који ће се стропоштати извесности. Капитална веза између бројева и величина, која установљује кохерентност васељене питагорејаца, била је грубо раскинута. А била је у самом срцу једне од две геометријске слике водиље античког света, у квадрату.Врхунац свега, ударац је дошао применом две најчувеније питагорејске тековине, саме Питагорине теореме и раздвајања целих бројева на парне и непарне. Несамерљиво, шта то заправо значи? Страница и дијагонала истог квадрата не прихватају ни једну заједничку меру! Ако неки број мери једну, нема тог броја који ће мерити другу! Што значи да се не могу тачно сазнати обе истовремено...а ипак, обе, пред нашим очима, показују се са истим степеном...реалности. Коегзистенција те две величине доказује да је реалност богатија од бројева. Ова дијагонала може бити конструисана, а не може бити мерена! До тада, оно што је могло бити конструисано, могло је бити и мерено. Са овим је окончано сагласје између конструисања и мерења. Откривање се састоји у следећем: за извесне величине не постоји број да би биле речене! Ето зашто су биле назване неизразиве, алогон.

Ето “логичког скандала” кога је Хипас из Метапонта изнео из круга питагорејаца. Пошто је то учинио, нестао је у бродолому. Тај бродолом био је истовремено бродолом одређеног мишљења које се ослањало на хармонију и свемоћ рационалних односа између ствари света. Био је изазван извођењем доказа. Историја ће запамтити да је прво математичко доказивање било доказивање немогућности!

“Тешко је испричати укратко какав је утицај имало ово откриће на развој математике. Значај тог открића се можда може поредити само са значајем које је имало откриће нееуклидске геометрије за развој науке XIX и XX века. Непосредне последице тог открића јесу ове:

1. Стари Грци су били убеђени да многе дужи, на пример дијагоналу и страницу квадрата, или хипотенузу правоуглог троугла чије су катете 1 и 2, не можемо изразити рационалним бројевима, али се оне ипак могу конструисати помоћу лењира и шестара. Због тога су они са својих теоријских разматрања прешли на конструкције. Алгебарске идентитете и једначине писали су не помоћу слова, као што се то сада ради у алгебри, већ помоћу односа између геометријских фигура. На пример, идентитет  записивали су тако како је приказано на слици:

Једначина x² = ab језиком геометрије изражавала се овако: Правоугаоник датих страница а и b претворити у квадрат. Страницу квадрата x, као што знамо, можемо наћи геометријски помоћу шестара и лењира, како се то ради види се из приложеног цртежа:

Слика 10.

Тако је геометрија постала језик којим се изражавала математика тог времена. Алгебра, па чак и аритметика излагане су помоћу ње. Наравно да је ово веома утицало на развој геометрије.

2. Грчки математичари поставили су и решили проблем о одређивању односа величина чак и кад су те величине несамерљиве. Да би се дочарала представа о томе колико је вредности било у овој теорији, рећи ћемо само то да су у новије доба сличне теорије биле постављене тек при крају прошлог века.

3. Сви ови нови проблеми и стварање теорије у вези са њима, водили су ка усавршавању самих начина математичких доказа, па је изникла потреба за стварањем уређеног логичког система у геометрији.”

Удвостручење квадрата

Један од најлајлакше решивих проблема удвостручења јесте како удвосручити квадрат.

Још су стари Атињани знали да се то може учинити конструишући га по његовој дијагонали.

Са овим проблемом можемо се сусрести још у основној школи.Ево један прилог који илуструје како би могао бити представљен у настави.

Како конструисати квадрат дупло веће површине

Свако зна да увећати двапут слику , на пример слику Београда на разгледници, значи начинити нову слику на којој ће свака зграда бити двапут дужа и двапут виша. Међутим, при томе се површина разгледнице повећава четири пута! Како постићи да се површина разгледнице повећа два пута? Посматраћемо посебан и помало необичан случај да је разгледница квадратног облика.                                                                                                                  

Са овим проблемом се често сусрећемо у геометрији.

Посматрајмо плави и црвени квадрат.Видимо да је површина плавог квадата a².Колика је површина црвеног?

При решавању овог проблема помоћи ће нам математичка релација сличности.

За два троугла, четвороугла и уопште два многоугла којима су одговарајући углови једнаки, а све странице једног многоугла су у истом односу веће ( или мање ) од одговарајућих страница другог, кажемо да су слични.

Закључна разматрања

Питагора је први покушао да истражи геометрију до основних принципа. Свакако претходно наведена подручја у којима се примењују његове теореме потврђују да је иако први био и један од најзначајнијих.

Позитивна достигнућа питагорејске школе у геометрији су:

Познавали су особине паралелних линија које су користили у доказу да је збир унутрашњих углова троугла једнак збиру два права угла.

Конституисали су геометријску алгебру.

Прилично су развили теорију сразмере. Такође су познавали особине сличних фигура.

Открили су или знали да постоји пет правилних полиедара. Конструисали су их емпиријски, састављајући једнакостраничне троуглове, квадрате и петоуглове. Из овог закључујемо да су могли да конструишу правилан петоугао.

Открили су постојање ирационалних бројева у смислу несамерљивости дијагонале квадрата и његове странице. Другим речима, доказали су ирационалност . Не само да су показали његову ирационалност већ су показали како да најближе могуће одредимо његову нумеричку вредност.