ЕУКЛИД
БИОГРАФИЈА
Еуклид (грч. Εὐκλείδης), познат и као Еуклид из Александрије је био антички математичар познат по својим делима Елементи, Дата, Оптика и алгоритму за израчунавање највећег заједничког делиоца (НЗД) који је по њему назван Еуклидов алгоритам.
О животу Еуклида се сасвим мало зна. Родио се у Грчкој и студирао је вероватно у Атини на Платоновој Академији где је геометрију научио од Еудокса и Теајтета. Краљ Птолемеј I (323. – 283. п. н. е.) позвао га је у новоосновану библиотеку у Александрији где је радио и подучавао. Међу његове ученике је спадао и Архимедес. Поред основа геометрије посвећивао се и теорији бројева и перспективи. пресецима конуса и сферној геометрији.
Еуклид (грч. Εὐκλείδης), познат и као Еуклид из Александрије је био антички математичар познат по својим делима Елементи, Дата, Оптика и алгоритму за израчунавање највећег заједничког делиоца (НЗД) који је по њему назван Еуклидов алгоритам.
О животу Еуклида се сасвим мало зна. Родио се у Грчкој и студирао је вероватно у Атини на Платоновој Академији где је геометрију научио од Еудокса и Теајтета. Краљ Птолемеј I (323. – 283. п. н. е.) позвао га је у новоосновану библиотеку у Александрији где је радио и подучавао. Међу његове ученике је спадао и Архимедес. Поред основа геометрије посвећивао се и теорији бројева и перспективи. пресецима конуса и сферној геометрији.
Његово главно дело су „Еуклидови основи“ у тринаест књига где говори о основним постулатима аксиома у геометрији и
долази до компликованијих конструкција све до тзв. Платонских тела. Основи
садрже и обједињују радове многих пређашњих математичара и философа свих доба који су
се употребљавали 2000 година. Еуклид се често назива и "Оцем
геометрије", јер је оно што се вековима знало о простору, у
"Елементима"
објединио и методички разврстао са доказима појединих исказа(теорема) уз претходно увођење исказа који су
сами по себи тачни или очигледни и који се не доказују, а које је користио за доказивање сложенијих исказа.
Једа од његових доказа је и за Питагорину теорему,доказујући да је ова једначина увек истинита за сваки прав угао.
Такође,доказао је и да је немогуће наћи "највећи прост број",јер ако узмемо било који највећи прост број,додамо 1
на производ свих простих бројева прије овог простог броја укључујући и овај прост број - добићемо опет прост
број.
Прокле,византијски философ из V века н.е. је писао да када је Птоломеј запитао да ли можда постоји неки лакши
начин за учење геометрије,Еуклид му одговори: - "Господару,не постоји краљевски пут у геометрију!"
Или кад је један од његових ученика,кад је научио први постулат,запитао: - "Што ћу добити учењем ових ствари?",
нашто је Еуклид позвао свог роба,рекавши му: - "Иди и подај му 3 обола(грч.ситни новац),јер он "мора" да заради
нешто,учећи ово!"
Такође,изрекао је и ово: - "Закони природе су математичка размишљања Бога."
Код Еуклида тачка,права и раван су почетни појмови.Рецимо,тачку је дефинисао као: - "Оно чији део је ништа".
Еуклид је увео аксиоме (aksioma-држати за вредно,бити истинито - чињенице које се не доказују и које су очигледне
и истините,има их 9) и постулате (има их 5) на основу којих је разрадио систем доказивања. РАД
Написао је бројна дела, од којих нека нису сачувана и позната су само по наслову. Сачувана дела су:
објединио и методички разврстао са доказима појединих исказа(теорема) уз претходно увођење исказа који су
сами по себи тачни или очигледни и који се не доказују, а које је користио за доказивање сложенијих исказа.
Једа од његових доказа је и за Питагорину теорему,доказујући да је ова једначина увек истинита за сваки прав угао.
Такође,доказао је и да је немогуће наћи "највећи прост број",јер ако узмемо било који највећи прост број,додамо 1
на производ свих простих бројева прије овог простог броја укључујући и овај прост број - добићемо опет прост
број.
Прокле,византијски философ из V века н.е. је писао да када је Птоломеј запитао да ли можда постоји неки лакши
начин за учење геометрије,Еуклид му одговори: - "Господару,не постоји краљевски пут у геометрију!"
Или кад је један од његових ученика,кад је научио први постулат,запитао: - "Што ћу добити учењем ових ствари?",
нашто је Еуклид позвао свог роба,рекавши му: - "Иди и подај му 3 обола(грч.ситни новац),јер он "мора" да заради
нешто,учећи ово!"
Такође,изрекао је и ово: - "Закони природе су математичка размишљања Бога."
Код Еуклида тачка,права и раван су почетни појмови.Рецимо,тачку је дефинисао као: - "Оно чији део је ништа".
Еуклид је увео аксиоме (aksioma-држати за вредно,бити истинито - чињенице које се не доказују и које су очигледне
и истините,има их 9) и постулате (има их 5) на основу којих је разрадио систем доказивања. РАД
Написао је бројна дела, од којих нека нису сачувана и позната су само по наслову. Сачувана дела су:
- Елементи (геометрија као наука о простору) у 13 књига,
- Дата (о условима задавања неког математичког објекта),
- Оптика (са теоријом перспективе), и др.
У односу на друге научне области, геометрија је достигла
завидан ниво око 300. године п. н. е.
појавом дела Елементи. Тада у математици геометрија доминира, па
су и бројеви интерпретирани геометријски. Еуклид је покушао да излагање буде
строго дедуктивно и управо због те доследности Елементи су вековима
сматрани најсавршенијим математичким делом. Многе генерације математичара и
других научника су учили из ове књиге како се логички закључује и ново повезује
са раније утврђеним чињеницама. Касније су Елементи анализирани и
допуњавани. Посебну пажњу су привлачили аксиоми и постулати. У овој књизи су
садржана сва сазнања и открића до којих су
ЕЛЕМЕНТИ Еуклидови Елементи (грч. Στοιχεῖα, Стоихеиа) су античко дело о елементарној математици хеленског научника Еуклида из 3. века старе ере. Еуклидови Елементи садрже 13 књига и представљају систематско излагање грчке математике тог времена по одељцима: елементарна геометрија, теорија бројева, алгебра, теорија мерења геометријских величина, елементи теорије граничних вредности.
Еуклидови Елементи представљају изванредан образац изградње геометрије дедуктивном методом. Елементарна геометрија, која се изучава у средњим школама многих земаља света, се у мало чему разликује од геометрије изложене у Еуклидовим Елементима. Међутим, многе дефиниције (тачка, права и др.) у Еуклидовој геометрији су данас застареле. Многе аксиоме из Еуклидове геометрије не представљају данас аксиоме. На пример: Еуклид је сматрао следећи став као аксиому: "Сви прави углови су подударни“. Данас се овај став, у строжем дедуктивном излагању геометрије, доказује.
ЕЛЕМЕНТИ Еуклидови Елементи (грч. Στοιχεῖα, Стоихеиа) су античко дело о елементарној математици хеленског научника Еуклида из 3. века старе ере. Еуклидови Елементи садрже 13 књига и представљају систематско излагање грчке математике тог времена по одељцима: елементарна геометрија, теорија бројева, алгебра, теорија мерења геометријских величина, елементи теорије граничних вредности.
Еуклидови Елементи представљају изванредан образац изградње геометрије дедуктивном методом. Елементарна геометрија, која се изучава у средњим школама многих земаља света, се у мало чему разликује од геометрије изложене у Еуклидовим Елементима. Међутим, многе дефиниције (тачка, права и др.) у Еуклидовој геометрији су данас застареле. Многе аксиоме из Еуклидове геометрије не представљају данас аксиоме. На пример: Еуклид је сматрао следећи став као аксиому: "Сви прави углови су подударни“. Данас се овај став, у строжем дедуктивном излагању геометрије, доказује.
Постоје мишљења да низ књига које улазе у Еуклидове
Елементе није написао Еуклид, већ други математичари; на пример
књиге 10. и 13. по мишљењу холандског математичара Ван
дер Вердена (Van der Verden) је написао старогрчки
математичар Теотет.
Низ теорема и геометријских чињеница изложених у Еуклидовим Елементима били су
познати много пре Еуклида.
Обично се уз овај скуп књига издају и две додатне
књиге тзв. XIV и XV за које се са сигурношћу може тврдити да су додате касније
и да не представљају аутентичан Еуклидов рад.
*АКСИНОМИ*
1.Ствари(објекти) који су једнаки са неким трећим (објектима) су једнаки међусобно
2.Ако се једнаким стварима додају једнаке ствари,њихове суме(збирови) ће бити једнаки
3.Ако се једнаким стварима одузму једнаке величине,њихови остаци ће бити једнаки
4.Ако се неједнаким додају једнаке величине,њихове суме же бити неједнаке
5.Ако се удвоструче једнаке величине,оне ће бити опет једнаке
6.Ако се двоструко смање једнаке величине,оне ће опет бити једнаке
7.Половине од једнаких величина су такође једнаке
8.Ствари(мисли се на геометр.објекте) ако се поклопе,једнаки су међусобно
9.Целина је већа од свог дела(делића)
*ПОСТУЛАТИ*
1.Можемо нацртати праву линију између било које две тачке(или да би нацртали праву,потребно је бар 2 тачке)
2.Можемо продужити праву са обе стране до у бесконачност
3.За круг је потребно полупречник и једна тачка као његов центар
4.Сви прави углови су једнаки(међусобно)
5.Ако једна права у пресеку са другим двема правима,образује са исте стране 2 унутрашња угла чији је збир
мањи од 2 права угла,те праве бескрајно продужене ће се сећи и то са оне стране са које су ови углови мањи од
2 права ( или Плејферова аксиома паралелности: - Ако постоји једна права и тачка ван ње,онда се може повући
САМО једна права која је паралелна датој прави).
Најважнији постулат је пети око кога су се дуго ломила копља при доказивању(не може се доказати,а покушавали су многи) све до краја XIX века и до стварања не-Еуклидске геометрије Гауса,Лобачевског и Буљаи-ја (тзв. хиперболичке геометрије). Лобачевски је пети постулат заменио са својим: - "Кроз тачку ван праве у равни
пролазе две праве које не секу дату праву".
На следећој слици је један од најстаријих докумената из "Елемената",Књига II на папирусу пронађен у Oxyrhychus,Eгипат (старост се процењује на период од 75-125 г. н.е.) са доказивањем једне једначине:
Елементарна (Еуклидска) геометрија
Еуклидова геометрија је геометрија изграђена на аксиомама апсолутне геометрије и Еуклидовом аксиому („петом постулату“) о паралелним правама: кроз тачку А која не лежи на правој а, у равни која је одређена тачком А и правом а, може се повући само једна права која не сече праву а.
Еуклидову геометрију често називају елементарна геометрија. Геометрију која се изучава у средњој школи такође називају Еуклидова геометрија и то је у вези с чињеницом да је њену прву систематску изградњу изложио старогрчки геометар Еуклид у 3. веку п. н. е. у својој књизи Елементи (в. Еуклидови Елементи).
Прва геометрија различита од Еуклидове геометрије била је геометрија Лобачевског, коју је изградио велики руски математичар Лобачевски.
Еуклидска геометрија се добро слаже са описивањем својстава чврстих тела.Простор величине молекула се
понаша еуклидски.Али,геометрија простора унутар атома није еуклидска.Такође,за налажење просторних односа
тела у космичком простору,погоднија је геометрија са променљивом закривљеношћу.
Оно што учимо у школи из геометрије је базирано на принципима Еуклида.За свакодневни живот користи нам
прилично добро геометрија из "Елемената".
1. Теорема
*АКСИНОМИ*
1.Ствари(објекти) који су једнаки са неким трећим (објектима) су једнаки међусобно
2.Ако се једнаким стварима додају једнаке ствари,њихове суме(збирови) ће бити једнаки
3.Ако се једнаким стварима одузму једнаке величине,њихови остаци ће бити једнаки
4.Ако се неједнаким додају једнаке величине,њихове суме же бити неједнаке
5.Ако се удвоструче једнаке величине,оне ће бити опет једнаке
6.Ако се двоструко смање једнаке величине,оне ће опет бити једнаке
7.Половине од једнаких величина су такође једнаке
8.Ствари(мисли се на геометр.објекте) ако се поклопе,једнаки су међусобно
9.Целина је већа од свог дела(делића)
*ПОСТУЛАТИ*
1.Можемо нацртати праву линију између било које две тачке(или да би нацртали праву,потребно је бар 2 тачке)
2.Можемо продужити праву са обе стране до у бесконачност
3.За круг је потребно полупречник и једна тачка као његов центар
4.Сви прави углови су једнаки(међусобно)
5.Ако једна права у пресеку са другим двема правима,образује са исте стране 2 унутрашња угла чији је збир
мањи од 2 права угла,те праве бескрајно продужене ће се сећи и то са оне стране са које су ови углови мањи од
2 права ( или Плејферова аксиома паралелности: - Ако постоји једна права и тачка ван ње,онда се може повући
САМО једна права која је паралелна датој прави).
Најважнији постулат је пети око кога су се дуго ломила копља при доказивању(не може се доказати,а покушавали су многи) све до краја XIX века и до стварања не-Еуклидске геометрије Гауса,Лобачевског и Буљаи-ја (тзв. хиперболичке геометрије). Лобачевски је пети постулат заменио са својим: - "Кроз тачку ван праве у равни
пролазе две праве које не секу дату праву".
На следећој слици је један од најстаријих докумената из "Елемената",Књига II на папирусу пронађен у Oxyrhychus,Eгипат (старост се процењује на период од 75-125 г. н.е.) са доказивањем једне једначине:
Елементарна (Еуклидска) геометрија
Еуклидова геометрија је геометрија изграђена на аксиомама апсолутне геометрије и Еуклидовом аксиому („петом постулату“) о паралелним правама: кроз тачку А која не лежи на правој а, у равни која је одређена тачком А и правом а, може се повући само једна права која не сече праву а.
Еуклидову геометрију често називају елементарна геометрија. Геометрију која се изучава у средњој школи такође називају Еуклидова геометрија и то је у вези с чињеницом да је њену прву систематску изградњу изложио старогрчки геометар Еуклид у 3. веку п. н. е. у својој књизи Елементи (в. Еуклидови Елементи).
Прва геометрија различита од Еуклидове геометрије била је геометрија Лобачевског, коју је изградио велики руски математичар Лобачевски.
Еуклидска геометрија се добро слаже са описивањем својстава чврстих тела.Простор величине молекула се
понаша еуклидски.Али,геометрија простора унутар атома није еуклидска.Такође,за налажење просторних односа
тела у космичком простору,погоднија је геометрија са променљивом закривљеношћу.
Оно што учимо у школи из геометрије је базирано на принципима Еуклида.За свакодневни живот користи нам
прилично добро геометрија из "Елемената".
1. Теорема
Централни угао је двоструко већи од
периферног над истом тетивом.
Доказ
Дужи CA, CB и CP су једнаке
(полупречници), па је троугао BCP једнакокраки. Исто тако и троугао ACP је
једнакокраки. PP' је пречник круга, а AP’ и BP’ су такође тетиве.
Спољашњи угао троугла једнак је
збиру два унутрашња њему несуседа угла, тј.
, и отуда:
2. Теорема
Периферни угао над пречником је
прав.
Доказ
Из претходне теореме, јер је
централни угао над пречником 180°, а пола од тога је прави угао.
3. Теорема
3. Теорема
Угао између тетиве и тангенте
повучених из исте тачке кружнице једнак је периферном над том тетивом.
Доказ
Дат су круг k, тангента t и тетива
AB. AP је пречник круга па је угао у B прав. Углови BAt и APB имају окомите
краке, тј. једнаки су!
4. Теорема
Периферни углови над истом тетивом
једнаки су или су суплементни. Ако су са различитих страна тетиве они су
суплементни.
Нема коментара:
Постави коментар